Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris

MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS

Teorema 2.2.1
Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar.
Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(A) = 0
det (A) = det(AT)
Bukti (a). Karena setiap hasilkali elementer bertanda dari A memiliki satu faktor dari tiap baris dan satu faktor dari tiap kolom, maka setiap hasilkali elementer bertanda akan memiliki satu faktor dari satu baris nol atau satu faktor dari dari satu kolom nol. Pada kasus-kasus seperti ini, setiap hasilkali elementer bertanda adalah nol, dan det(A) yang merupakan jumlah dari semua hasilkali elementer bertanda adalah nol.

Matriks Segitiga
Teorema 2.2.2
Jika A adalah matriks segitiga n × n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal) maka det(A) adalah hasilkali dari entri-entri pada diagonal utama matriks tersebut; yaitu det(A) = a11a22...ann.
Untuk menyederhanakan notasi, kami akan membuktikan hasil untuk matriks segitiga bawah 4 × 4.

Argumentasi untuk matriks n × n adalah sama. Bukti untuk matriks segitiga atas dapat diperoleh dengan menerapkan Teorema 2.2.1b dan mengamati bahwa transpos dari matriks segitiga atas adalah matriks segitiga bawah dengan entri-entri diagonal yang sama.
Bukti dari teorema 2.2.2 (kasus segitiga bawah 4 × 4). Satu-satunya hasilkali elementer dari A yang bisa berupa bilangan taknol adalah a11 a22 a33 a44. Untuk membuktikan kebenarannya, perhatikan suatu hasilkali elementer yang khas a1j1 a2j2 a3j3 a4j4. Karena a12 = a13 = a14 = 0, untuk mendapatkan hasilkali elementer yang taknol, maka haruslah j1 = 1. Jika j1 = 1, maka haruslah j2 ≠ 1, karena tidak ada dua faktor yang berasal dari kolom yang sama. Selanjutnya, karena a23 a24 = 0, untuk mendapatkan hasilkali taknol, maka haruslah j2 = 2. Dengan cara yang sama, kita memperoleh j3 = 3 dan j4 = 4. Karena a11a22a33a44 dikalikan dengan +1, untuk membentuk hasilkali elementer bertanda maka kita memperoleh
det(A) = a11a22a33a44.

CONTOH 1 Determinan Matriks Segitiga Atas


Operasi Baris Elementer
Teorema 2.2.3
Misalkan A adalah suatu matriks n x n.
Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika satu baris atau satu kolom dari A dikalikan dengan suatu skalar k, maka det(B) = k det(A).
Jika B adalah matriks diperoleh ketika dua baris atau dua kolom dari A dipertukarkan, maka det(B)  = .
Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika kelipatan dari satu baris A ditambahkan ke baris lainnya atau ketika kelipatan dari satu kolom ditambahkan ke kolom yang lain, maka det(B) = det(A).
CONTOH 2 Teorema 2.2.3 Diterapkan untuk Determinan
Hubungan
Operasi



det(B) = det(A)
Baris pertama dari A dikalikan dengan k.



det(B) = -det(A)
Baris pertama dan kedua dari A dipertukarkan



det(B) = det(A)
Suatu kelipatan dari baris kedua dari A ditambahkan ke baris pertama.


Matriks Elementer
Suatu matriks elementer diperoleh dengan melakukan suatu operasi baris elementer tunggal pada suatu matriks identitas.
Teorema 2.2.4
Misalkan E adalah suatu matriks elementer n × n.
Jika E adalah hasil perkalian suatu baris dari In dengan k, maka det(E) = k.
Jika E adalah hasil pertukaran dua baris dari In, maka det(E) = -1.
Jika E adalah hasil penjumlahan kelipatan satu baris dari In ke baris lainnya, maka det(E) = 1.
CONTOH 3 Determinan dari Matriks Elementer
Determinan dari matriks elementervberikut ini, yang dihitung dengan inspeksi, mengilustrasikan Teorema 2.2.4
,

Baris kedua dari I4 dikalikan dengan 3

 ,

Baris pertama dan terakhir dari I4 dipertukarkan



7 kali baris terakhir dari I4 ditambahkan ke baris pertama.



Matriks dengan Baris atau Kolom yang Proporsional
Jika suatu matriks bujursangkar A memiliki dua baris yang proporsional, maka suatu baris bilangan nol dapat dibentuk dengan cara menjumlahkan kelipatan yang sesuai dari salah satu baris ke baris yang lainnya. Hal yang sama berlaku untuk kolom. Tetapi menjumlahkan kelipatan dari satu baris ke baris lainnya atau dari satu kolom ke kolom yang lainnya juga tidak akan mengubah determinan, maka sesuai dengan teorema 2.2.1a, kita pasti memiliki det(A) = 0.
Teorema 2.2.5
Jika A adalah suatu matriks bujursangkar dengan dua baris atau dua kolom yang proporsional, maka det(A) = 0.
CONTOH 4 Membentuk Baris NOL
Perhitungan berikut menggambarkan cara membentuk satu baris bilangan nol jika terdapat dua baris yang proporsional:

Baris kedua merupakan 2 kali baris pertama, sehingga kita menambahkan -2 kali baris pertama ke baris kedua untuk membentuk satu baris nol.


Masing-masing dari matriks berikut memiliki dua baris atau kolom yang proporsional; jadi, masing-masing memiliki determinan nol.


Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris
Kini kami akan memberikan metode untuk menghitung determinan yang melibatkan perhitungan yang lebih sedikit dibanding dengan jika kita menerapkan definisi determinan secara langsung. Gagasan dari metode ini adalah dengan mereduksi matriks yang diberikan menjadi bentuk segitiga atas melalui operasi baris elementer, kemudian menghitung determinandari matriks segitiga atas (suatu perhitungan yang mudah), kemudian menghubungkan determinan tersebut dengan matriks aslinya.
CONTOH 5 Reduksi Baris untuk Menghitung Determinan
Hitunglah det(A) dimana

Penyelesaian.
Kita akan mereduksi A menjadi bentuk eselon baris (yaitu segitiga atas) dan menerapkan Teorema 2.2.3:



Baris pertama dan kedua dari A dipertukarkan.





Suatu faktor bersama yaitu 3 dari baris pertama dikeluarkan melewati tanda determinan.






-2 kali baris pertama ditambahkan ke baris ketiga.






-10 kali baris kedua ditambahkan ke baris ketiga.






Suatu faktor bersama yaitu -55 dari baris terakhir dikeluarkan melewati tanda determinan.








CONTOH 6. Operasi Kolom untuk Menghitung Determinan
Hitunglah determinan dari

Penyelesaian.
Determinan ini dapat dihitung sebagaimana cara di atas dengan mengunakan operasi baris elementer untuk mereduksi A menjadi bentuk eselon baris, tetapi kita juga dapat mengubah A menjadi bentuk segitiga bawah dalam satu langkah dengan cara menambahkan -3 kali kolom pertama ke kolom keempat untuk memperoleh

contoh ini menunjukkan perlunya kita memberikan perhatian pada operasi kolom untuk memperpendek perhitungan.

Referensi: Anton - Rorres, Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi edisi ke-8.